Aleko Minga: Sprova për matematikën

Aleko Minga

Sprova për matematikën

Horizonte Matematike pjesa IV

Botimet IDK 2015

Para disa ditësh, ish profresori im, z. Aleko Minga, antar i Akademisë së Shkencave, më dhuroi librin e tij “Sprova për matematikën” sikurse na e kish premtuar në takimin tonë me kolegët në maj.

Në të përfshihen tri tema me shumë vlerë:

Matematizimi i shkencës- tipar i zhvillimit të saj në kohën e  sotme;

A ndodhin revolucione në matematikë; dhe

Mbi raportin ndërmjet shkencës dhe artit.

Janë këto tema edhe me karakter filozofik, që rrallë kush guxon t’i rrahë, por prof Aleko mundet, pasi për rreth 50 vjet praktikë studimore e mesimdhënie në universitet është marrë edhe me çështjet filozofike të matematikës. Kushdo që ka ndjekur leksionet e tij, është mrekulluar nga qartësia, thellësia dhe bukuria e shtjellimit të tyre në një gjuhë të pastër dhe të saktë shqipe dhe që ngjallin optimizëm dhe entuaziazëm te studentët si edhe një interesim në rritje për vetë këtë shkencë.

Kur kam dhënë mësim në shkollën kombëtare Hoteleri-Turizëm në Tiranë, e kam ftuar prof Alekon të flasë para nxënësve dhe ai e ka pranuar pa ngurrim ftesën. Ndonëse auditori nuk ishte i nivelit të lartë dhe as ai i gjimnazeve shkencorë, prof. Aleko shtjelloi një temë krejt origjinale, atë të zhvillimit të mendimit matematik te shqiptarët në shekuj. Aty, midis të tjerash, mësova se mësues të Kopernikut kanë qenë edhe dy astronomë të shquar me prejardhje shqiptare, Gjon Gazulli dhe Leonik Tomeu. Ky i fundit, pat ndërtuar një sistem meridianesh, ku meridianin zero e kalonte kah qyteti i vet i lindjes, Durrësi!

Po më mirë le të njihemi me disa paragrafë të librit.

 

f.22

I pari që formuloi qartë programin dhe strategjinë e matematizimit të shkencave natyrore ka qenë Galilei. Sipas tij, “librin e madh të natyrës” që e kemi vazhdimisht të hapur para syve, “nuk mund ta kuptosh në qoftë se më parë nuk mëson t’ia kuptosh gjuhën, t’ia njohësh shkronjat me të cilat është shkruar.. Ai është shkruar me gjuhën e matematikës; shkronjat e tij janë trekëndëshat, rrathët, figurat e tjera gjeometrike”.

 

f.24-26

Matematizimi i fizikës ishte fillimi i një reaksioni zinxhir, që përfshiu me ritëm të shpejtë shkencat e tjera të natyrës. Nëpërmjet kimisë fizike u çel rruga e matematizimit të kimisë. Kuptimi i fenomeneve kryesore kimike, i kaluar në filtrin e metdodave matematike, u qartësua mjaft. Në këto kushte, biologjia s’mund të kënaqej me orvajtje matematizimi të sipërfaqshëm dhe duhej të shihte përtej statistikës matematike që e përdorte prej kohësh si instrument përpunimi të të dhënave të vrojtimeve dhe të eksperimenteve. Ajo duke shfrytëzuar metoda më të holla fizike dhe kimike moderne, i hapi matematikës dyert e proceseve të saj më intime. Psh problemi i shpërndarjes së elektroneve në molekulat organike, që është një nga shtyllat e biokimisë kuantike dhe teoria e katalizës e vlefshme dhe e përshtatur për sistemet biologjike, ende në fillimet e saj, kanë në fakt karakter të theksuar matematik.

Shembulli i gjenetikës matematike gjithashtu.. Edhe teoria e funksionimit të rrjetave nervore, rtj etj.

Teknika moderne llogaritëse i orientoi disiplinat ekonomike (dhe jo vetëm ato) drejt matematikës dhe kjo e fundit, me teoritë e drejtimit optimal, të shërbimit masiv, të grafëve, të lojërave, të sistemeve, të programimit linear dhe dinamik, me njehsimin operacional etj, çeli shtigje të reja për matematizimin e shkencave ekonomike.

 

f.35-36

Ekuacionet e Maksuellit shënojnë cakun e fillimit të konkretësisë të teorive fizike, që e përjetuan me dhimbje shumë fizikanë. Ekuacionet dalin këtu, për herë të pare, në një rol të ri: jo si product i dytë i një teorie të ndërtuar për procese të përfytyrueshme konkretisht, siç ndodhte në fizikën paramaksuelliane, por si vetë teoria. Këtë të vërtetë e formuloi Herci kur tha: “teoria e Maksuellit janë ekuacionet e Maksuellit” dhe shprehja e tij u bë një aforizëm i famshëm.

 

f.43

Matematizimi i mëtejshëm i termodinamikës çoi në krijimin e një drejtimi të ri në teorinë e pasqyrimeve të përafërta komforme, të mbështetur në metodat variacionale; zgjidhja e problemeve matematike të rregullimit automatik i dha një hov të paparë teorisë së operatorëve jo të vetkonjuguar; matematizimi i teorisë së elasticitetit ndihmoi për formimin e teorisë së ekuacioneve singulare integrale; teoria e proceseve të rastit arriti një shkallë përsosmërie nëpërmjet studimit matematik të problemeve të difuzionit, të drejtimit, të ndërlidhjes, të radioelektronikës etj; metodat aksiomatike të studimit të ekuacioneve diferenciale jolineare u përpunuan për t’u bërë ballë nevojave të llogaritjeve të përshpejtuesve të pjesëzave elementare, etj.;

 

f.55

Matematika është karakterizuar si “aventura më e guximshme dhe më e bukur intelektuale e njerëzimit”.

 

f.69

Revolucione shkencore në matematikë, sipas Kuhn, janë ngjarjet e jashtëzakonshme që bëhen shkas për ndryshime parimesh profesionale.

 

f.79

Zbulimi se diagonalja dhe brinja e katrorit nuk ishin të bashkëmatshme, dmth krahasimi i masave të gjatësive të tyre ishte i pashprehëshëm në trajtë raporti dy numrash të plotë, filozofikisht ishte një grusht i rëndë për mendimin pitagorian, sepse cënonte, hidhte poshtë një parim bazë ku mbështetej ai. Natyrisht kjo përbënte një krizë, sepse prekej një besim që kishte shërbyer si themel dhe orientim për njohjen matematike.

 

f.82-83

Matematikanët, filozofët dhe teologët në përgjithësi nuk e pranonin pafundësinë aktuale. Filozofët e mënjanonin këtë koncept që nga koha e Aristotelit, sepse mendonin që pafundësia aktuale ishte jokoherente nga pikëpamja logjike. Teologët kundërshtonin pafundësinë aktuale, sepse e shihnin si një sfidë të drejtpërdrejtë blasfemuese që i bëhej natyrës unike dhe absolutisht të pafundme të Zotit. Matematikanët ishin dyshues ndaj kësaj pafundësie të shteruar për shkak të vështirësive dhe paradokseve që do mund të futeshin në mënyrë të pashmangëshme.

…Kantori argumentoi bindëshëm se ideja e pafundësisë aktuale ishte pjesë implicite e çdo pikëpamje për pafundsinë potenciale. E vetmja arsye, sipas tij, pse matematikanët e shmangnin përdorimin e pafundësisë aktuale ishte sepse nuk ishin në gjendje të shihnin sesi paradokset e mirënjohura, që nga Zenoni deri të Bolcanoja, mund të kuptoheshin dhe të mënjanoheshin.

 

f.85

Vërtetimi i panumurueshmërisë së numrave realë çoi në krijimin e numrave transfinitrë. Kjo ishte konceptualisht e pamundur po të mos thyheshin kufijtë e matematikës tardicionale, por nuk ishte në kundërshtim me matematikën e fundme.

 

f.88

Shndërrimet revolucionare në matematikë e çojnë brezin tjetër përtej asaj që është krijuar, i hapin mundësi tërësisht të reja, zakonisht të pakonceptueshme nga pikëpamja e gjeneratës së mëparëshme. Vizione vërtet revolucionare e hapin mëndjen ndaj lidhjeve të reja, metodave të ndryshme, e çojnë natyrshëm drejt niveleve më të larta të abstraksionit dhe të përgjithsimit. Revolucionet ndodhin, pra, brenda matematikës. Po të mos ndodhte kështu, thotë Daubeni, ne do të numuronim ende me gishta.

 

f.96

Shkëputja epistomologjike që zu fill me krijimin e gjeometrisë joeuklidiane, nuk ishte një akt i menjëherëshëm, por një proces i tërë. Fundi i tij konsiderohet mbizotërimi i “paradigmës” se matematika mund të ndërtojë shumë uyniverse simbolikë (në veçanti “gjeometria’) me të vërteta imanente (të brendëshme).

 

f.104

Dija matematike është shembulli më tipik i dijes së vërtetuar, por ajo që mund të duket një vërtetim i pranueshëm, i gjykuar sipas disa standardeve, mund të duket si pseudovërtetim sipas standardesh më të rrepta.

 

f.110-111

Të gjithë matematikanët, deri në vitin 1800, ishin të bindur se gjeometria euklidiane ishte idealizim korrekt i vetive të hapësirës fizike dhe të figurave në këtë hapësirë. Aksiomat dhe postulatet e Euklidit konsideroheshin si të vërteta “vetëm të qarta’. Një faktor i fuqishëm ndikues ishte edhe filozofia e Kantit. Sipas saj, hapësira dhe koha nuk ekzistonin në vetëvete, por janë krijime të mëndjes sonë për të “organizuar” të dhënat e përvojës. Disa parime për to dhe rrjedhojat logjike të tyre Kanti i quante të vërteta sintetike apriori dhe këto, sipas tij, janë të vërtetat e gjeometrisë euklidiane.

…Në fakt, krijimi i gjeometrisë joeuklidiane konsiderohet si një nga arritjet ku zu fill zhvillimi modern i matematikës. Karakteristikë thelbësoree e matematikës moderne është se objektet e saj nuk janë vetëm ato forma dhe marrëdhënie të abstraguara drejtpërdrejt nga përvoja, por edhe forma e marrëdhënie (struktura matematike) që janë logjikisht të mundshme dhe përkufizohen mbi bazën e formave dhe strukturave që i kemi tashmë.

 

f.114

Sipas ndarjes ndërmjet matematikës “substanciale” dhe asaj “formale” (ose matematikës së zbatuar dhe asaj të pastër), Zhengu sugjeron se duhen futur dy koncepte të ndryshme të së vërtetës në matematikë: e vërteta realiste, që do të thotë në pajtim me realitetin, dhe e vërteta formale (teoritë matematike përcaktojnë struktura të caktuara dhe pohimet matematike janë të vërteta për strukturën korersponduese).

 

f.118

Le ta zemë se po bëjmë një inventar të instrumentave të profesionit të matematikanit. Këto janë konceptet, terminologjia dhe simbolet, përkufizimet, aksiomat dhe teoremat, metodat e vërtetimit dhe të zgjidhjes së problemeve, problemet dhe hipotezat. Përveç këtyre, janë edhe vlerat metamatematike të komunitetit që përcaktojnë qëllimin dhe metodologjinë e kësaj fushe dhe përfshijnë besimet e përgjithshme për natyrën e saj. Të gjithë këto elementë përbëjnë matematikën dhe botën matematike.

 

f.158

Sipas meje (Aleko Minga), në matematikë ndodhin procese ndryshimesh radikale, të cilat mund të etiketohen si “revolucione shkencore”. Ato janë ngjarje që ndodhin rrallë dhe ndahen nga njëra-tjetra prej periudhash të gjata kohore. Ndryshimet në metanivel, pra në pikëpamjet me karakter të përgjithshëm, që kanë shërbyer si themel dhe orientim për njohjen matematike për një periudhë, janë të tipit skartim i të vjetëruarës, të tejkaluarës dhe zëvëndësim me të renë, që e kundërshton atë. Në përmbajtjen e mirëfilltë matematike nuk kemi flakje të kësaj natyre, por, ne mund të shprehemi kështu, një riurbanizim të metropolit matematik për t’i dhënë atij një pamje moderne, me një rrjet të ri “lidhjesh”,  për ta bërë më dinamike, më funksionale dhe më të zhdërvjellët lëvizjen në të dhe, natyrisht, një rihierarkizim të vlerave, të arritjeve të kaluara, në pajtim me rolin e ridimensionuar brendamatematik e jashtëmatematik të tyre.

 

f.160

Premisat për analizën matematike (njehsimin diferencial dhe integral) në shekullin 17 ekzistonin: algjebra, gjeometria dhe teknikat njehsuese kishin arritur një shkallë të mjaftueshme përpunimi; ishin futur madhësia e ndryshueshme dhe metoda e koordinatave; ishin përvetësuar shumë mirë idetë dhe metodat infitezimale të matematikanëve të lashtë dhe në mënyrë të veçantë trashëgimia e Arkimedit, që përbënin preludin e çmuar antik të veprës së madhe që pritej të ngjizej. Shkencëtarë të shquar si Kepleri, Galilei, Kavalieri, Torriçeli, Paskali, Uollisi, Dekarti, Fermai, Barrou etj përvijuan mjaft elementë dhe skicuan metoda, me një rrokje më tepër intuitive, por jo fort të disiplinuar logjikisht, ua gatitën shtegun Njutonit dhe Laibnicit për të realizuar sintezën e tyre madhore.. Pra matematika brenda vetes, i kishte krijuar kushtet për ndryshime.

 

f.163

Matematika në tërësi, ka tanimë një fizionomi tjetër pas futjes së teknikës së re llogaritëse. Madje po konsiderohet i arsyeshëm një modifikim në skemën e Kolmogorovit (për ndarjen e historisë së matematikës në katër etapa: të parahistorisë së matematikës, të matematikës  elementare, të matematikës së lartë klasike dhe të matematikës moderne). Etapa e fundit- e matematikës moderne- që fillon, sipas Kolmogorovit, në dhjetëvjeçarin e tretë të shekullit 19, duhet ndarë në dy nënetapa: e para që mbyllet në vitet 40 të shekullit 20 dhe e dyta, që zë fill pas saj dhe vazhdon deri në ditët tona, për matematikën e së cilës duhet gjetur një epitet i ri karakterizues.

 

f.182

Krijimi më original i shekullit 17 u frymëzua nga arti i pikturimit. Gjatë zhvillimit të sistemit të pespektivës, piktorët futën ide të reja gjeometrike dhe shtruan për zgjidhje disa çështje duke përvijuar kështu një problematike origjinale. ..Kështu u kreijua gjeometria projektive.”Shkenca e krijuar prej artit”, siç e karakterizojnë me një eufemizëm të qëlluar, është një nga degët më të bukura të matematikës.

 

f.186-197

Në shekullin 19 një varg i gjatë hulumtimesh matematike kulmoi me veprën madhore të Furiesë, i cili tregoi se të gjithë tingujt, vokalë e instrumentalë, të thjeshtë e kompleksë, janë të përshkrueshëm tërësisht me mjetet e matematikës. Formulimit matematiki nuk i shpëtonte bukuria e pazakontë e asnjë fraze muzikore, Më 1807 Furie paraqiti në Akademinë Franceze të Shkencave një teoremë me rëndësi të pashoqe. Teorema thoshte që formula që paraqet çdo tingull muzikor është një shumë termash të trajtës asinbx. Çdo term i tillë paraqet një tingull të thjeshtë, të themi tingullin e një diapazoni me frekuencë e amplitudë të vetën. Pra, çdo tingull muzikor, sado kompleks është, një kombinim tingujsh të thjeshtë si ata që lëshojnë diapazonët.

….Ekuacionet e Maksuellit që përfshihen në pesëshen kryesore të “ekuacionev që ia ndërruan faqen botës”, paralajmëruan me guxim realitetin fizik të valëve elektromagnmetike, që atëhere nuk mund të dedektoheshin eksperimentalisht. Herci, që e bëri të prekshëm këtë realitet njëzetetre vjet pas ekuacioneve dhe dhjetë vjet pasi Maksuelli kish mbyllur sytë, hodhi hapin e parë drejt sendërtimit të një revolucioni teknik, prej të cilit përfitoi e tërë kultura njerëzore. Mjafton të përmëndim që radio e televizioni i bënë thesaret e kësaj kulture një pasuri që nuk e gëzon vetëm një elitë, por masa tepër të gjera, mijëra e mijëra kilometra larg qendrave të mëdha.

 

f.190

Të merresh me matematikë- shkruante Veili- është krejt e ngjashme si të krijosh mite, letërsi apo muzikë. Kjo është një nga fushat e veprimtarisë që e karakterizon më fort njeriun, në të cilën shprehet thelbi i tij njerëzor, prirja për anën intelektuale të jetës, që del në pah si një nga shfaqjet e harmonisë botërore.

 

f.194

Në vjeshtë të vitit 1998, revista amerikane ‘Mathematical Intelligence” ftonte lexuesit e saj të renditnin, sipas një sistemi pikësh, formulat më të bukura matematike…Pas mbylljes së konkursit, u botua lista me 15 formulat më të bukura. Përzgjedhja ishte e goditur, çka tregon se vërtet ka një bukuri objektive, që ndihet e përceptohet realisht. Kreun e listës e zinte një formulë e Ojlerit:

e^i? = -1

e cila lidh, në mënyrë befasuese, tre numra të famshëm, që prapa tyre kanë një histori të tërë: ?, raportin konstant të perimetrit me diametrin e çdo rrethi, natyra e së cilës sfidoi mendimin e lashtë grek, sepse ishte dramatikisht e gërshetuar me problemin e kuadraturës së rrethit, e-në, bazën e logaritmeve neperianë, një instrument i rëndësishëm matematik dhe njësinë imagjinare i (i² = -1), që u përdor për krijimin e një bashkësie të re numrash, të ashtuquajturit numra kompleksë. Formula e Ojlerit ka një thjeshtësi të mahnitshme.

 

f.196

Shkenca është gjithmonë një kombinimm i logjikes me intuitiven. Logjika pa intuitën nuk krijon informacion të ri, por vetëm vë në dukje informacionin që përmbahet në premisat fillestare. Logjika sanksionon ngadhnjimet e intuitës “ajo është një farë higjiene për t’i mbajtur idetë intuitive të shendetshme e të forta”. Por pa intuit s’ka krijimtari, ndërsa skemat logjike, sipas Ajnshtajnit, në vetvete nuk kanë vlerë ontologjike.

Mblodhi Bardhyl Selimi, shtator 2015